Lógica de Primeira Ordem - Sistema Semântico/Correção e Completude

AVISO

Esta secção não tem resumos feitos, se alguém quiser contribuir podem fazer um PR!

Abaixo encontra-se a resposta elaborada pelo prof. Quintas (2020/2021), com uma explicação geral de um dos exercícios desta matéria que pode sair em exame:

Explicação Ex. Exame

Considere a interpretação $I: \{a, b, P, S\} \mapsto D \cup F \cup R$ , tal que:

\begin{aligned} I(a) &= \diamondsuit\\ I(b) &= \square\\ I(P) &= \{\}\\ I(S) &= \{(\square)\}\\ \end{aligned}

Para cada uma das fbfs na tabela abaixo, indique o seu valor segundo a interpretação $I$ .

$\alpha$	$I(\alpha)$
$P(a) \to S(a)$
$P(b) \vee S(b)$
$S(b) \wedge \neg P(a)$
$S(b) \to P(b)$

A explicação dada pelo professor para o exercício em questão é a seguinte:

Uma conceptualização é algo necessário quando queremos avaliar proposições em LPO em relação ao mundo real (ou qualquer outro mundo imaginário, como o mundo de quadrados e losangos que aparece no exercício). Uma conceptualização não é nada mais do que uma tripla de conjuntos $(D, F, R)$ , em que:

$D$ é o universo de discurso, ou seja o conjunto de todas as entidades sobre as quais vais construir afirmações (neste exercício vamos fazer afirmações sobre um losango e um quadrado);

$F$ é o conjunto de funções que podemos aplicar a estas entidades, sendo uma função um mapeamento de uma ou mais entidades para uma ou mais entidades (ou seja, uma função é algo que transforma entidades, estilo se estiveres a falar de alunos de LP, uma função poderia ser o que associa cada aluno à sua nota nas aulas práticas, neste exercício não consideramos nenhuma função por isso é o conjunto vazio);

$R$ é o conjunto de relações que existem entre as entidades de $D$ , normalmente definidas por conjuntos de grupos para os quais estas relações se verificam (no caso do exercício tens duas relações, uma que será sempre falsa, correspondente por isso ao conjunto vazio, e outra relação que será verdadeiro para o quadrado e por omissão será falsa para o losango).

A partir desta conceptualização, constrói-se uma interpretação para os elementos da LPO que estamos a usar aqui, em que o símbolo $a$ representa o nosso losango, o símbolo $b$ representa o nosso quadrado, $P$ representa a relação que é sempre falsa e o símbolo $S$ representa a relação que é verdadeira para o quadrado e falsa para o losango (por omissão, mais uma vez).

Agora, o teu trabalho é, a partir desta informação e do teu conhecimento sobre as tabelas de verdade dos vários operadores da LPO determinar as interpretações das frases que são apresentadas. Usando a primeira como exemplo, sabemos que a relação $P$ é sempre falsa, logo $P(a)$ será falso. Sabemos também que a relação representada por $S$ é verdadeira apenas para um quadrado. Como neste caso a representa o nosso losango, $S(a)$ será falso. Pela tabela de verdade da implicação (que por esta fase espero que saibas mais que de cor que só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente falso) podes então concluir que a interpretação desta fbf é verdadeira (bastava até notar que o antecedente é falso para tirar esta conclusão).

As restantes entradas na tabela terão um raciocínio semelhante, simplesmente usando outras relações e operadores.

A solução seria:

$\alpha$	$I(\alpha)$
$P(a) \to S(a)$	$V$
$P(b) \vee S(b)$	$V$
$S(b) \wedge \neg P(a)$	$V$
$S(b) \to P(b)$	$F$